Question

1．设函数f（x）=lnx-（a+1）x（a∈R）
（1）当a=0时，讨论函数f（x）的单调性；
（2）当a＞-1时，函数f（x）有最大值且最大值大于-2时，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（2）求出函数f（x）的导数，解关于导函数的不等式，求出f（x）的最大值，从而求出a的范围即可．

解答 解：（1）当a=0时，函数f（x）=lnx-x，定义域为（0，+∞），
f′（x）=$\frac{1-x}{x}$，
i）当0＜x＜1时，f′（x）＞0，函数单调递增，
ii）当x＞1时，f′（x）＜0，函数单调递减；
综上所述：函数f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．
（2）函数f（x）=lnx-（a+1）x（a∈R）的定义域为（0，+∞），
f′（x）=$\frac{1-（a+1）x}{x}$，
当a＞-1时，a+1＞0，令f′（x）=0，解得x=$\frac{1}{a+1}$，
i）当0＜x＜$\frac{1}{a+1}$时，f′（x）＞0，函数单调递增，
ii）当x＞$\frac{1}{a+1}$时，f′（x）＜0，函数单调递减．
得：f（x）_max=f（$\frac{1}{a+1}$）=ln$\frac{1}{a+1}$-1＞-2，
即ln（a+1）＜1，
∴a+1＜e，∴-1＜a＜e-1，
故a的取值范围为（-1，e-1）．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．