Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且Sn=

1

2

n2+

11

2

n．数列{b_n}满足bn+2-2bn+1+bn=0(n∈N*)，且b₃=11，b₁+b₂+…+b₉=153．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）设cn=

3

(2an-11)(2bn-1)

，数列{c_n}的前n项和为T_n，求使不等式T_n＞

k

57

对一切n∈N^*都成立的最大正整数k的值．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列,点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）通过n=1，求出a₁，当n≥2时，利用a_n=S_n-S_n-1，求出a_n=n+5（n≥2），通过b_n+2-2b_n+1+b_n=0推出{b_n}是等差数列，求出b_n．
（2）利用cn=

3

(2an-11)(2bn-1)

，通过裂项法化简，求出T_n，判断T_n单调递增，推出(Tn)min=T1=

1

3

，得到

1

3

＞

k

57

，求出k_max即可．

解答： 解：（1）当n=1时，a₁=S₁=6
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(

1

2

n2+

11

2

n)-[

1

2

(n-1)2+

11

2

(n-1)]=n+5，
∴a_n=n+5（n≥2）
又a₁=6也适合上式∴a n=n+5(n∈N+)
又b_n+2-2b_n+1+b_n=0即b_n+2-b_n+1=b_n+1-b_n，
所以{b_n}是等差数列，又b₃=11，b₁+b₂+…+b₉=153，解得b₁=5，d=3．
因为b_n=3n+2…（6分）
（2）cn=

3

(2an-11)(2bn-1)

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)
所以T_n=c₁+c₂+…cn=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]=

n

2n+1

…（8分）
因为Tn+1-Tn=

n+1

2n+3

-

n

2n+1

=

1

(2n+3)(2n+1)

＞0…（10分）
因为T_n单调递增，故(Tn)min=T1=

1

3

…（11分）
令

1

3

＞

k

57

，得k＜19，所以k_max=18．…（13分）

点评：本题考查数列的综合应用，数列求和，递推关系式以及通项公式的求法，数列的单调性以及不等式的应用，考查分析问题解决问题以及转化思想的应用．