Question

如图，在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=1，AA₁=2，M、N分别为B₁B和A₁D的中点．
（1）求直线MN与平面ADD₁A₁所成角的正切值大小与三棱椎A₁-AMN的体积；
（2）求证直线MN∥平面A₁B₁C₁D₁．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）取AA₁中点P，连结PM，PN．∠PNM为直线MN与平面ADD₁A₁所成的角，由此能求出直线MN与平面ADD₁A₁所成的角的正切值．由VA1-AMN=VM-A1AN，利用等积法能求出三棱椎A₁-AMN的体积．
（2）设DD₁的中点为P，连PN，PM，由中位线的性质得PN∥A₁D₁，PM∥D₁B₁，由此能证明直线MN∥平面A₁B₁C₁D₁．

解答： （本小题满分12分）
（Ⅰ）解：取AA₁中点P，连结PM，PN．
则MP⊥面ADD₁A₁．
所以∠PNM为直线MN与平面ADD₁A₁所成的角．…（2分）
在Rt△PMN中，知PM=1，PN=

1

2

，
∴tan∠PMN=

PM

PN

=2，
故直线MN与平面ADD₁A₁所成的角的正切值为2．…（4分）
S△A1AN=

1

2

S△A1AD=

1

2

×

1

2

×1×2=

1

2

，
VA1-AMN=VM-A1AN=

1

3

×S△A1AN×AB=

1

6

．（8分）
（2）证明：设DD₁的中点为P，连PN，PM，
由中位线的性质得PN∥A₁D₁，PM∥D₁B₁，
所以平面PMN∥平面A₁B₁C₁D₁，直线MN?平面PMN，
直线MN∥平面A₁B₁C₁D₁．（12分）

点评：本题考查直线MN与平面ADD₁A₁所成角的正切值大小与三棱椎A₁-AMN的体积的求法，考查直线与平面平行的证明，解题时要注意空间思维能力的培养．