Question

4．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π），若函数y=f（x）的图象与x轴的任意两个相邻交点间的距离为π，当x=$\frac{π}{3}$时，函数y=f（x）取得最大值2．
（1）求函数f（x）的解析式，并写出它的单调增区间；
（2）若x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}}$]，求函数f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）根据函数y=f（x）的最大值得出A的值，根据函数y=f（x）的图象与x轴的任意两个相邻交点间的距离求出周期T与ω的值，
再求出φ的值，即得f（x）的解析式与单调增区间；
（2）求出$x∈[{-\frac{π}{3}，\frac{π}{2}}]$时x+$\frac{π}{6}$的范围，再求出sin（x+$\frac{π}{6}$）的取值范围，即得函数f（x）的值域．

解答 解：（1）因为当$x=\frac{π}{3}$时，函数y=f（x）取得最大值2，所以A=2，…2分
因为函数y=f（x）的图象与x轴的任意两个相邻交点间的距离为π，
所以T=2π，即$\frac{2π}{ω}=2π$，所以ω=1，…4分
将点$（\frac{π}{3}，2）$代入f（x）=2sin（x+φ），得$sin（\frac{π}{3}+φ）=1$，
因为0＜φ＜π，所以$φ=\frac{π}{6}$，
所以$f（x）=2sin（x+\frac{π}{6}）$；…6分
令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤x≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
解得-$\frac{2π}{3}$+2kπ≤x≤$\frac{π}{3}$+2kπ，k∈Z；
所以f（x）的单调增区间是$[{2kπ-\frac{2π}{3}，2kπ+\frac{π}{3}}]，（k∈z）$；  …10分
（2）当$x∈[{-\frac{π}{3}，\frac{π}{2}}]$时，$x+\frac{π}{6}∈[{-\frac{π}{6}，\frac{2π}{3}}]$，
$sin（x+\frac{π}{6}）∈[{-\frac{1}{2}，1}]$，…14分
所以函数f（x）的值域是[-1，2]．  …16分

点评 本题考查了三角函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质的应用问题，是基础题目．