Question

9．抛物线焦点在y轴上，且y=x+1被抛物线截得的弦长为5，则抛物线的标准方程为${x}^{2}=\frac{-4+\sqrt{66}}{2}y$或${x}^{2}=\frac{-4-\sqrt{66}}{2}y$．

Answer 1

分析 由题意设抛物线方程为x²=my（m≠0），联立直线方程和抛物线方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系得到弦的两个端点的横坐标的和与积，代入弦长公式求得m值，则答案可求．

解答 解：由题意设抛物线方程为x²=my（m≠0），
联立$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}=my}\\{y=x+1}\end{array}\right.$，得x²-mx-m=0．
设弦的两个端点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=m，x₁x₂=-m，
∴|AB|=$\sqrt{2}|{x}_{1}-{x}_{2}|$=$\sqrt{2}\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{2}\sqrt{{m}^{2}+4m}=5$，
解得：$m=\frac{-4±\sqrt{66}}{2}$．
当m=$\frac{-4+\sqrt{66}}{2}$时，抛物线方程为${x}^{2}=\frac{-4+\sqrt{66}}{2}y$；
当m=$\frac{-4-\sqrt{66}}{2}$时，抛物线方程为${x}^{2}=\frac{-4-\sqrt{66}}{2}y$．
故答案为：${x}^{2}=\frac{-4+\sqrt{66}}{2}y$或${x}^{2}=\frac{-4-\sqrt{66}}{2}y$．

点评 本题考查抛物线标准方程的求法，训练了弦长公式的应用，是中档题．