Question

15．如图，自圆O外一点P引圆O的切线，切点为A，M为AP的中点，过点M引圆的割线交圆O于B，C两点，且∠BMP=120°，∠BPC=30°，MC=8．
（Ⅰ）求∠MPB的大小；
（Ⅱ）记△MAB和△MCA的面积分别为S_△MAB和S_△MCA，求$\frac{{{S_{△MAB}}}}{{{S_{△MCA}}}}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由切割线定理，得MA²=MB•MC，再根据M为PA的中点，将MA换成MP，得到△PMB∽△CMP，从而∠MPB=∠MCP，最后在△CMP中利用内角和为180°列式，可得∠MPB的大小；
（Ⅱ）证明△MAB～△MCA，可得$\frac{{{S_{△MAB}}}}{{{S_{△MCA}}}}=\frac{{M{A^2}}}{{M{C^2}}}$，即可求$\frac{{{S_{△MAB}}}}{{{S_{△MCA}}}}$．

解答 解：（Ⅰ）∵MA是圆O的切线，MC是圆O的割线，∴MA²=MB•MC，
又∵M为AP的中点，∴MA=MP，
∴MP²=MB•MC，且∠PMB=∠CMP，
∴△PMB～△CMP，∴∠MPB=∠MCP，
又∵∠MPB+∠MCP+∠CMP+∠CPB=180°，
且∠BMP=120°，∠BPC=30°，∴∠MPB=15°．
（Ⅱ）∵MA是圆O的切线，∴∠MAB=∠ACM，
∴△MAB～△MCA，
∴$\frac{{{S_{△MAB}}}}{{{S_{△MCA}}}}=\frac{{M{A^2}}}{{M{C^2}}}$，
在△CMP中，MC=8，∠CPM=45°，∠PCM=15°，
由正弦定理得：$MP=4（\sqrt{3}-1）$，∵MA=MP，∴$MA=4（\sqrt{3}-1）$，
∴$\frac{{{S_{△MAB}}}}{{{S_{△MCA}}}}=\frac{{M{A^2}}}{{M{C^2}}}=\frac{{{{[4（\sqrt{3}-1）]}^2}}}{8^2}=\frac{{2-\sqrt{3}}}{2}$．

点评 本题给出圆的切线和割线，在已知两个角的度数情况下求未知角的度数，求$\frac{{{S_{△MAB}}}}{{{S_{△MCA}}}}$．着重考查了三角形的相似、切割线定理和三角形内角和定理等知识，属于中档题．