Question

12．如图，PA是⊙O的切线，切点为A，PB，PC是⊙O的割线，它们与⊙O分别交于B，D和C，E，延长CD交PA于M，∠MPC=∠MDP．
（Ⅰ）求证：AP∥BE；
（Ⅱ）求证：M是AP的中点．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知题意可得△PMD∽△CMP，∠MPD=∠C，结合∠EBD=∠C得∠EBD=∠MPD，即可证得结论；
（Ⅱ）由△PMD∽△CMP得MP²=MD•MC，即可证明M是AP的中点．

解答 证明：（Ⅰ）∵∠MPC=∠MDP且∠PMD=∠PMC，
∴△PMD∽△CMP，
∴∠MPD=∠C，
又∠EBD=∠C，
∴∠EBD=∠MPD，
∴AP∥BE---------（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）△PMD∽△CMP，
∴$\frac{MP}{MD}=\frac{MC}{MP}$即MP²=MD•MC，
又MA是圆的切线，
∴MA²=MD•MC，
即MA²=MP²，
∴MA=MP，
即M是AP的中点------（10分）

点评 本题考查三角形相似的判定与性质，考查切割线定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．