题目内容

19．已知数列{an}的通项公式an=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{n}-1，n为奇数}\\{{2}^{n}，n为偶数}\end{array}\right.$，则数列{an}的前n项和Sn=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{n+1}-2-\frac{n}{2}，n为偶数}\\{{2}^{n+1}-3-\frac{n-1}{2}，n为奇数}\end{array}\right.$．

分析 讨论n为偶数，n为奇数时，运用分组求和和等比数列的求和公式，综合即可得到所求．

解答 解：当n为偶数时，其前n项和Sn=a1+a2+a3+a4+…+an-1+an
=（2-1）+22+（23-1）+24+…+（2n-1-1）+2n=（2+22+23+24+…+2n-（1+1+…+1）
=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$-$\frac{n}{2}$=2n+1-2-$\frac{n}{2}$；
当n为奇数时，其前n项和Sn=a1+a2+a3+a4+…+an-1+an
=2n-2-$\frac{n-1}{2}$+2n-1=2n+1-3-$\frac{n-1}{2}$．
其前n项和Sn=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{n+1}-2-\frac{n}{2}，n为偶数}\\{{2}^{n+1}-3-\frac{n-1}{2}，n为奇数}\end{array}\right.$．
故答案为：$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{n+1}-2-\frac{n}{2}，n为偶数}\\{{2}^{n+1}-3-\frac{n-1}{2}，n为奇数}\end{array}\right.$．

点评 本题考查数列的求和，注意运用等比数列的求和公式，考查分类讨论和运算能力，属于中档题．

练习册系列答案
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