Question

6．△ABC中，∠C=90°，且CA=3，点M满足$\overrightarrow{BM}$=2$\overrightarrow{MA}$，则$\overrightarrow{CM}$•$\overrightarrow{CA}$的值为（　　）

• A． 3
• B． 6
• C． 9
• D． 不确定

Answer 1

分析 根据平面向量的线性运算与数量积运算，
用$\overrightarrow{CA}$、$\overrightarrow{CB}$表示出$\overrightarrow{CM}$，再计算$\overrightarrow{CM}$•$\overrightarrow{CA}$．

解答 解：如图所示，
△ABC中，∠C=90°，且CA=3，点M满足$\overrightarrow{BM}$=2$\overrightarrow{MA}$，
∴$\overrightarrow{BM}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{BA}$=$\frac{2}{3}$（$\overrightarrow{CA}$-$\overrightarrow{CB}$）
∴$\overrightarrow{CM}$=$\overrightarrow{CB}$+$\overrightarrow{BM}$=$\overrightarrow{CB}$+$\frac{2}{3}$（$\overrightarrow{CA}$-$\overrightarrow{CB}$）=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{CA}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{CB}$，
∴$\overrightarrow{CM}$•$\overrightarrow{CA}$=（$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{CA}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{CB}$）•$\overrightarrow{CA}$
=$\frac{2}{3}$${\overrightarrow{CA}}^{2}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{CB}$•$\overrightarrow{CA}$
=$\frac{2}{3}$×3²-$\frac{1}{3}$×0
=6．
故选：B．

点评 本题考查了平面向量的线性运算与数量积运算问题，是基础题．