Question

19．如图，A、B、C为⊙O上三点，B为$\widehat{AC}$的中点，P为AC延长线上一点，PQ与⊙O相切于点Q，BQ与AC相交于点D．
（Ⅰ）证明：△DPQ为等腰三角形；
（Ⅱ）若PC=1，AD=PD，求BD•QD的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连接CQ，BC，AB，证明∠PQD=∠CDQ，即可证明PD=PQ；
（Ⅱ）利用切割线定理，求出CD=1，AD=PD=2，即可求BD•QD．

解答 （Ⅰ）证明：连接CQ，BC，AB，
因为PQ是圆O的切线，所以∠PQC=∠CBD，
因为B为$\widehat{AC}$的中点，所以∠CQB=∠ACB，
所以∠PQC+∠CQB=∠CBD+∠ACB，
即∠PQD=∠CDQ，
故△DPQ为等腰三角形．…（5分）
（Ⅱ）解：设CD=t，则PD=PQ=1+t，PA=2+2t，
由PQ²=PC•PA得t=1，
所以CD=1，AD=PD=2，
所以BD•QD=CD•AD=2．…（10分）

点评 本题考查与圆有关的比例线段，考查相等线段的证明，考查切割线定理，难度中等．