Question

10．如图1，已知四边形ABFD为直角梯形，$AB∥DF，∠ADF=\frac{π}{2}，△ADE$为等边三角形，AD=DF=2AF=2，C为DF的质点，如图2，将平面AED、BCF分别沿AD、BC折起，使得平面AED⊥平面ABCD，平面BCF⊥平面ABCD，连接EF、DF，设G为AE上任意一点．
（1）证明：DG∥平面BCF；
（2）求平面DEF与平面BCF所成锐二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出CD⊥平面AED，CD⊥平面BCF，从而平面AED∥平面BCF，由此能证明DG∥平面BCF．
（Ⅱ）取AD的中点O，连结OE，则OE⊥AD，以OD为x轴，以平面AED过O的垂线为y轴，以OE为y轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面DEF与平面BCF所成锐二面角的余弦值．

解答 证明：（Ⅰ）由题意知BC⊥DC，
∵平面AED⊥平面ABCD，平面AED∩平面ABCD=AD，
又CD⊥AD，∴CD⊥平面AED，
同理，CD⊥平面BCF，
∴平面AED∥平面BCF，
又DC?平面AED，∴DG∥平面BCF．
解：（Ⅱ）取AD的中点O，连结OE，则OE⊥AD，
∵平面AED⊥平面ABCD，平面AED∩平面ABCD=AD，
∴OE⊥平面ABCD，以OD为x轴，以平面AED过O的垂线为y轴，以OE为y轴，建立空间直角坐标系，
∵OE=$\sqrt{3}$，CF=1，
则O（0，0，0），$\overrightarrow{DF}$=（0，1，1），$\overrightarrow{CD}$=（0，-1，0），
设平面DEF的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DE}=-x+\sqrt{3}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DF}=y+z=0}\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$，-1，1），
又$\overrightarrow{CD}$=（0，-1，0）是平面BCF的一个法向量，
∴cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{CD}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CD}}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{CD}|}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴平面DEF与平面BCF所成锐二面角的余弦值为$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查线面角的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．