Question

4．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，PA⊥平面ABCD，E，F分别是BC，PC的中点，H是PD上的动点，EH与平面PAD所成的角为θ．
（1）求证：平面AEF⊥平面PAD；
（2）求当θ取最大值为$\frac{π}{4}$时，二面角E-AF-C的正切值．

Answer 1

分析 （1）设菱形ABCD的边长为2a，由余弦定理得AE=$\sqrt{3}a$，再由勾股定理得AE⊥BC，从而AE⊥AD，由线面垂直得PA⊥AE，由此能证明平面AEF⊥平面PAD．
（2）过E作EQ⊥AC，垂足为Q，过Q作QG⊥AF，垂足为G，连结GE，则∠ECQ是二面角E-AF-C的平面角，过点A作AH⊥PD，连结EH，则∠AHE是EH与面PAD所成的最大角，由此能求出二面角E-AF-C的正切值．

解答 证明：（1）设菱形ABCD的边长为2a，
则AE²=（2a）²+a²-2a×a×cos60°=3a²，
∴AE=$\sqrt{3}a$，
∴BE²+AE²=AB²，∴AE⊥BC，
又AD∥BC，∴AE⊥AD，
∵PA⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，∴PA⊥AE，
∵PA∩AD=A，∴AE⊥平面PAD，
又AE?平面AEF，∴平面AEF⊥平面PAD．
解：（2）过E作EQ⊥AC，垂足为Q，过Q作QG⊥AF，垂足为G，连结GE，
∵PA⊥面ABCD，∴PA⊥EQ，EQ⊥面PAC，
∴∠ECQ是二面角E-AF-C的平面角，
过点A作AH⊥PD，连结EH，
∵AE⊥面PAD，
∴∠AHE是EH与面PAD所成的最大角，
∵∠AHE=$\frac{π}{4}$，∴AH=AE=$\sqrt{3}a$，
AH•PD=PA•AD•2a•PA=$\sqrt{3}a•\sqrt{P{A}^{2}+（2a）^{2}}$，
PA=2$\sqrt{3}a$，
∴PC=4a，EQ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，CQ=$\frac{1}{2}a$，GQ=$\frac{3\sqrt{3}}{4}a$，
tan∠EGQ=$\frac{EQ}{GQ}=\frac{2}{3}$．
∴二面角E-AF-C的正切值为$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查面面垂直的证明，考查二面角的正切值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．