Question

9．已知函数$f（x）=asinx-\sqrt{3}cosx$关于直线$x=-\frac{π}{6}$对称，且f（x₁）•f（x₂）=-4，则|x₁+x₂|的最小值为（　　）

• A． $\frac{π}{6}$
• B． $\frac{π}{3}$
• C． $\frac{5π}{6}$
• D． $\frac{2π}{3}$

Answer 1

分析 由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的图象的对称性求得x₁、x₂，可得|x₁+x₂|的最小值．

解答 解：∵$f（x）=asinx-\sqrt{3}cosx$，
∴$f（x）=asinx-\sqrt{3}cos=\sqrt{{a^2}+3}sin（x-φ）（tanφ=\frac{{\sqrt{3}}}{a}）$，
∵函数$f（x）=asinx-\sqrt{3}cosx$关于直线$x=-\frac{π}{6}$对称，∴-$\frac{π}{6}$-φ=kπ+$\frac{π}{2}$，
即φ=-kπ-$\frac{2π}{3}$，k∈Z，故可取φ=$\frac{π}{3}$．
故tanφ=$\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{a}$，a=1，即 f（x）=2sin（x-$\frac{π}{3}$）．
∵f（x₁）•f（x₂）=-4，故可令f（x₁）=-2，f（x₂）=2，
∴x₁-$\frac{π}{3}$=2k₁π-$\frac{π}{2}$，x₂-$\frac{π}{3}$=2k₂π+$\frac{π}{2}$，
即 ${x_1}=-\frac{π}{6}+2{k_1}π，{x_2}=\frac{5π}{6}+2{k_2}π$，其中k₁，k₂∈Z，
∴${|{{x_1}+{x_2}}|_{min}}=\frac{2π}{3}$，
故选：D．

点评 本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．