Question

17．数列{a_n}满足a₁=2，且na_n+1-（n+1）a_n=n（n+1）
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）已知b_n=（n+1）²，求证：$\frac{1}{{a}_{1}+{b}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}+{b}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}+{b}_{n}}$$＜\frac{5}{12}$．

Answer 1

分析 （1）na_n+1-（n+1）a_n=n（n+1），变形为$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}$-$\frac{{a}_{n}}{n}$=1，利用等差数列的通项公式即可得出．
（2）b_n=（n+1）²，可得a_n+b_n=（n+1）（2n+1），n≥2时，$\frac{1}{{a}_{n}+{b}_{n}}$=$\frac{1}{（n+1）（2n+1）}$≤$\frac{1}{2{n}^{2}+2n}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，利用“裂项求和”即可得出．

解答 （1）解：∵na_n+1-（n+1）a_n=n（n+1），∴$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}$-$\frac{{a}_{n}}{n}$=1，
∴数列$\{\frac{{a}_{n}}{n}\}$是等差数列，首项为2，公差为1．
∴$\frac{{a}_{n}}{n}$=2+（n-1），∴a_n=n（n+1）．
（2）证明：b_n=（n+1）²，
∴a_n+b_n=（n+1）（2n+1），
∴n≥2时，$\frac{1}{{a}_{n}+{b}_{n}}$=$\frac{1}{（n+1）（2n+1）}$≤$\frac{1}{2{n}^{2}+2n}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，
∴$\frac{1}{{a}_{1}+{b}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}+{b}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}+{b}_{n}}$＜$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{2}$$[（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+$（\frac{1}{3}-\frac{1}{4}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）]$=$\frac{1}{6}+\frac{1}{2}（\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}）$=$\frac{5}{12}$．
n=1时，也成立．
∴$\frac{1}{{a}_{1}+{b}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}+{b}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}+{b}_{n}}$＜$\frac{5}{12}$．

点评 本题考查了递推关系、等差数列的通项公式、“放缩法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．