Question

已知正实数a、b满足a+b=2，且

1

a

+

4

b

≥m恒成立，则实数m的最大值是

 

．

Answer 1

考点：基本不等式在最值问题中的应用

专题：计算题,不等式的解法及应用

分析：欲求实数m的最大值，根据题意知只须求出

1

a

+

4

b

的最小值即可．由已知中正实数a，b满足a+b=2，根据基本不等式“1的活用”，利用分式的性质，化简得到两数为定值的情况，利用基本不等式即可得到答案．

解答： 解：∵

1

a

+

4

b

=

1

2

（

1

a

+

4

b

）（a+b）=

1

2

（5+

b

a

+

4a

b

）≥

9

2

，
∴

1

a

+

4

b

的最小值为

9

2

，
∵

1

a

+

4

b

≥m恒成立，
∴m≤

9

2

，
∴实数m的最大值是

9

2

，
故答案为：

9

2

．

点评：本题考查的知识点是基本不等式在最值问题中的应用，其中对于已知两数之和为定值，求两分式之和的最值时，“1的活用”是最常用的办法．