Question

已知函数f（x）=x³-3x．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）过点P（2，-6）作曲线y=f（x）的切线，求此切线的方程．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性

专题：计算题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）先求函数的导函数，令它大于0，即可得函数的单调递增区间，令它小于0，即可得函数的单调递减区间；
（Ⅱ）欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先设切点坐标为（t，t³-3t），利用导数求出在x=t处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=x³-3x，∴f'（x）=3x²-3，
由f'（x）＞0即3x²-3＞0，得x＞1或x＜-1，
由f'（x）＜0即3x²-3＜0，得-1＜x＜1，
∴函数f（x）的单调递增区间是（-∞，-1）和（1，+∞），
单调递减区间为（-1，1）．
（Ⅱ）∵f′（x）=3x²-3，
设切点坐标为（t，t³-3t），
则切线方程为y-（t³-3t）=3（t²-1）（x-t），
∵切线过点P（2，-6），∴-6-（t³-3t）=3（t²-1）（2-t），
化简得t³-3t²=0，∴t=0或t=3．
∴切线的方程：3x+y=0或24x-y-54=0．

点评：本题主要考查导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程及运用导数求单调区间等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题，也是易错题．