Question

已知函数f（x）=x³-

1

2

x2+bx+c．
（1）若f（x）有极值，求b的取值范围；
（2）若f（x）在x=1处取得极值，当x∈[-1，2]时，则f（x）＜c²恒成立，求c的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（1）f′（x）=3x²-x+b．f（x）有极值?f′（x）=0由两个不相等的实数根?△=1-12b＞0，解得即可．
（2）当x∈[-1，2]时，则f（x）＜c²恒成立?f（x）_max＜c²，利用导数求出f（x）_max即可解出．

解答： 解：（1）f′（x）=3x²-x+b．令f′（x）=0，
由△=1-12b＞0，解得b＜

1

12

．
（2）∵f（x）在x=1处取得极值，
∴f′（1）=0，∴3-1+b=0，得b=-2．
∴f′（x）=3x²-x-2．
令f′（x）=0，得x1=-

2

3

，x2=1．
列表如下：

x	[-1，- 2 3 )	- 2 3	(- 2 3 ，1)	1	（1，2]
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	单调递增	极大值	单调递减	极小值	单调递增

由表格可知：当x=-

2

3

时，函数f（x）取得极大值f(-

2

3

)=

22

27

+c，而区间端点处的f（2）=2+c，
∴函数f（x）的最大值为2+c．
∴2+c＜c²，解得c＞2或c＜-1． 
∴c的取值范围是c＞2或c＜-1．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了恒成立问题的等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．