Question

等差数列{a_m}的公差d不为0，S_n是其前n项和，给出下列命题：
①若d＞0，且S₃=S₈，则S₅和S₆都是{S_m}中的最小项；
②给定n，对于一切k∈N₊（k＜n），都有a_n-k+a_n+k=2a_m；
③若d＜0，则{S_n}中一定有最大的项；
④存在k∈N₊，使a_k-a_k+1和a_k-a_k-1同号；
⑤S₂₀₁₃＞3（S₁₃₄₂-S₆₇₁）．
其中正确命题的序号为

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：等差数列与等比数列

分析：①由d＞0，且S₃=S₈，利用等差数列的性质易求a₆=0，从而可判断①；
②利用等差数列的性质可判断②；
③当d＜0时，由S_n=na₁+

n(n-1)

2

d=

d

2

n²+（a₁-

d

2

）n，可知{S_n}中一定有最大的项，由此可判断③；
④a_k-a_k+1和a_k-a_k-1符号相反，可判断④；
⑤利用S₆₇₁，S₁₃₄₂-S₆₇₁，S₂₀₁₃-S₁₃₄₂成等差数列，整理后可判断⑤．

解答： 解：对于①：∵d＞0，且S₃=S₈，∴a₁＜0，a₄+a₅+a₆+a₇+a₈=0，∴5a₆=0，即a₆=0，
∴S₅和S₆都是{S_m}中的最小项，故①正确；
对于②：由等差中项的性质可知正确；
对于③：当d＜0时，S_n=na₁+

n(n-1)

2

d=

d

2

n²+（a₁-

d

2

）n，可知{S_n}中一定有最大的项，故③正确；
对于④：a_k-a_k+1和a_k-a_k-1符号相反，故④不正确；
对于⑤：∵S₆₇₁，S₁₃₄₂-S₆₇₁，S₂₀₁₃-S₁₃₄₂成等差数列，
∴2（S₁₃₄₂-S₆₇₁）=S₆₇₁+（S₂₀₁₃-S₁₃₄₂），
∴S₂₀₁₃=3（S₁₃₄₂-S₆₇₁），故⑤不正确．
综上所述，正确命题的序号为①②③．
故答案为：①②③．

点评：本题考查等差数列的性质，着重考查等差中项的性质、等差数列前n项和的函数性质及依次n项的和成等差数列等性质的综合应用，属于中档题．