Question

已知函数f（x）=cos²x+

3

sinxcosx．
（1）求f（x）的最值及相应的x值；
（2）若-

π

3

＜α＜

π

6

，且f（α）=

11

10

，求cos2α．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）根据三角函数的恒等变换可得函数解析式f（x）=cos（2x-

π

3

）+

1

2

，从而可求f（x）的最值及相应的x值；
（2）由已知可得

3

2

sin2α=

3

5

-

1

2

cos2α，两边平方后整理可得：100cos²2α-60cos2α-39=0，即可解得cos2α的值．

解答： 解：∵（1）f（x）=cos²x+

3

sinxcosx=

1+cos2x

2

+

3

2

sin2x=cos（2x-

π

3

）+

1

2

，
∴当2x-

π

3

=2kπ，即x=kπ+

π

6

，k∈Z时，f（x）_max=

3

2

；
当2x-

π

3

=2kπ+π，即x=kπ+

2π

3

，k∈Z时，f（x）_min=-

1

2

；
（2）∵f（α）=cos（2α-

π

3

）+

1

2

=

11

10

，
∴可得：

1

2

cos2α+

3

2

sin2α=

3

5

，
∴

3

2

sin2α=

3

5

-

1

2

cos2α，
∴两边平方后整理可得：100cos²2α-60cos2α-39=0，
∵-

π

3

＜α＜

π

6

，∴-

2π

3

＜2α＜

π

3

，
∴可解得：cos2α=

3±4 2

10

．

点评：本题主要考查了倍角公式，两角和与差的正弦函数公式的应用，三角函数的图象与性质，属于基础题．