Question

9．若（1+y²）（x-$\frac{1}{{x}^{4}y}$）ⁿ（n∈N*）的展开式中存在常数项，则常数项为45．

Answer 1

分析 写出二项式（x-$\frac{1}{{x}^{4}y}$）ⁿ（n∈N*）的展开式的通项，要使（1+y²）（x-$\frac{1}{{x}^{4}y}$）ⁿ（n∈N*）的展开式中存在常数项，再由x，y的指数为0，求得n，r的值，则答案可求．

解答 解：（x-$\frac{1}{{x}^{4}y}$）ⁿ（n∈N*）的展开式的通项为C_n^r（-1）^rx^n-5ry^-r，
要使（1+y²）（x-$\frac{1}{{x}^{4}y}$）ⁿ（n∈N*）的展开式中存在常数项，则$\left\{\begin{array}{l}{n-5r=0}\\{r=2}\end{array}\right.$，
解得r=2，n=10，
则常数项为：C₁₀²（-1）²=45；
故答案为：45．

点评 本题考查二项式系数的性质，关键是熟记二项展开式的通项．