Question

17．已知tanα，tanβ是方程4x²+5x-1=0的两根，且$0＜α＜\frac{π}{2}，\frac{π}{2}＜β＜π$．
（1）求tan（α+β）的值；
（2）求α+β的值．

Answer 1

分析 （1）利用韦达定理求得tanα+tanβ 和tanα•tanβ的值，再利用两角和的正切公式求得tan（α+β）的值．
（2）根据α+β∈（$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{2}$），且tan（α+β）=-1，求得α+β的值．

解答 解：（1）∵tanα，tanβ是方程4x²+5x-1=0的两根，
且$0＜α＜\frac{π}{2}，\frac{π}{2}＜β＜π$，
∴tanα+tanβ=-$\frac{5}{4}$，tanα•tanβ=-$\frac{1}{4}$，∴tan（α+β）=$\frac{tanα+tanβ}{1-tanα•tanβ}$=$\frac{-\frac{5}{4}}{1+\frac{1}{4}}$=-1．
（2）由 $0＜α＜\frac{π}{2}，\frac{π}{2}＜β＜π$，可得α+β∈（$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{2}$），tan（α+β）=-1，∴α+β=$\frac{3π}{4}$．

点评 本题主要考查韦达定理、两角和的正切公式的应用，根据三角函数的值求角，属于基础题．