题目内容
某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）分成六段[40，50），[50，60），[90，100]后画出如下部分频率颁布直方图，观察图形的信息，回答下列问题：（Ⅰ）求第四小组的频率，补全这个频率分布直方图，并估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）；
（Ⅱ）若将频率袖为概率，从这个学校的高一学生中抽取3个学生（看作有放回的抽样），求其成绩在80分至100分（包括80分）的学生数X的分布列和数学期望．
考点：离散型随机变量的期望与方差,频率分布直方图
专题：概率与统计
分析：（Ⅰ）利用频率分布直方图能求出第四组的频率，由此能补齐直方图，能求出抽样学生成绩的及格率．
（Ⅱ）由题间，知每抽一名学生，抽到80～100分学生的概率为0.3，且x～B（3，0，3），由此能求出X的分布列和数学期望．
（Ⅱ）由题间，知每抽一名学生，抽到80～100分学生的概率为0.3，且x～B（3，0，3），由此能求出X的分布列和数学期望．
解答：
解：（Ⅰ）∵各组的频率和等于1，
∴第四组的频率f4=1-（0.025+0.015×2+0.01+0.005）×10=0.3，
直方图如右图．
纵坐标是0.03．
依题意，60分及以上的分数所在的第三、四、五、六组，
频率和为（0.015+0.03+0.025+0.005）×10=0.75，
∴抽样学生成绩的及格率是75%．
（Ⅱ）由题间，知每抽一名学生，抽到80～100分学生的概率o为0.3，且x～B（3，0，3），
∴P（X=0）=C
=0.343，
P（ξ=1）=
×0.3×0．72=0.441，
P（ξ=2）=
×0．32×0.7=0.189，
P（ξ=3）=
×0．33=0.027，
∴随机变量X的分布列为：
∴EX=3×0.3=0.9．
∴第四组的频率f4=1-（0.025+0.015×2+0.01+0.005）×10=0.3，
直方图如右图．
纵坐标是0.03．
依题意，60分及以上的分数所在的第三、四、五、六组，
频率和为（0.015+0.03+0.025+0.005）×10=0.75，
∴抽样学生成绩的及格率是75%．
（Ⅱ）由题间，知每抽一名学生，抽到80～100分学生的概率o为0.3，且x～B（3，0，3），
∴P（X=0）=C
| C | 0 3 |
| C | 3 7 |
P（ξ=1）=
| C | 1 3 |
P（ξ=2）=
| C | 2 3 |
P（ξ=3）=
| C | 3 3 |
∴随机变量X的分布列为：
| X | 0 | 1 | 2 | 3 |
| P | 0.343 | 0.441 | 0.189 | 0.027 |
点评：本题考查频率分布直方图的应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望，是中档题，在历年高考中都是必考题．
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