Question

已知A，B，C是△ABC的三个内角，且满足sin2A-sin2B+sin2C=

2

sinAsinC
（Ⅰ）求角B；
（Ⅱ）若sinA=

3

5

，求cosC的值．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：三角函数的求值

分析：（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简，得到关系式，再利用余弦定理表示出cosB，将得出的关系式代入求出cosB的值，即可确定出角B的度数；
（Ⅱ）由sinA的值求出cosA的值，根据B的度数得到A+C的度数，表示出C，代入cosC中，利用两角和与差的余弦函数公式化简，将各自的值代入计算即可求出值．

解答： 解：（Ⅰ）∵△ABC中，sin²A-sin²B+sin²C=

2

sinAsinC，
∴由正弦定理化简得：a²+c²-b²=

2

ac，
∴cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

2

2

，
∴B=

π

4

；
（Ⅱ）∵B=

π

4

，sinA=

3

5

＜

2

2

，
∴A＜B，A+C=

3π

4

，
∴cosA=

1-sin2A

=

4

5

，
则cosC=cos（

3π

4

-A）=cos

3π

4

cosA+sin

3π

4

sinA=-

2

2

×

4

5

+

2

2

×

3

5

=-

2

10

．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，两角和与差的余弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．