为了引导居民合理用水.某市决定全面实施阶梯水价.阶梯水价原则上以住宅的月用水量为基准定价.具体划分标准如表:阶梯级别第一阶梯水量第二阶梯水量第三阶梯水量月用水量范围(0.10](10.15] 从本市随机抽取了10户家庭.统计了同一个月的用水量.得到如图所示的茎叶图．(1)现要在这10户家庭中任意选取3户.求取到第二阶梯� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

4．

为了引导居民合理用水，某市决定全面实施阶梯水价，阶梯水价原则上以住宅（一套住宅为一户）的月用水量为基准定价，具体划分标准如表：

阶梯级别	第一阶梯水量	第二阶梯水量	第三阶梯水量
月用水量范围（单位：立方米）	（0，10]	（10，15]	（15，+∞）

从本市随机抽取了10户家庭，统计了同一个月的用水量，得到如图所示的茎叶图．
（1）现要在这10户家庭中任意选取3户，求取到第二阶梯水量的户数的分布列和均值；
（2）用抽到的10户家庭作为样本估计全市的居民用水情况，从全市依次随机抽取10户，若抽到n户月用水量为第二阶梯水量的可能性最大，求出n的值．

分析（1）由茎叶图可知：抽取的10户中用水量为一阶的有2户，二阶的有6户，三阶的有2户．取到第二阶梯水量的户数X的取值可能为0，1，2，3．利用P（X=k）=$\frac{{∁}_{4}^{3-k}{∁}_{6}^{k}}{{∁}_{10}^{3}}$，可得X的概率分布列及其数学期望．
（2）设从全市依次随机抽取10户，抽到Y户月用水量为第二阶梯水量，则Y～B$（10，\frac{3}{5}）$．P（Y=k）=${∁}_{10}^{k}（\frac{3}{5}）^{k}（\frac{2}{5}）^{10-k}$（k=0，1，2，…，10）．设t=$\frac{P（Y=k）}{P（Y=k-1）}$=$\frac{3（11-k）}{2k}$．由t＞1，可得k＜6.6，P（Y=k-1）＜P（Y=k-1）．由t＜1，则k＞6.6，P（Y=k-1）＞P（Y=k-1），即可得出．

解答解：（1）由茎叶图可知：抽取的10户中用水量为一阶的有2户，二阶的有6户，三阶的有2户．取到第二阶梯水量的户数X的取值可能为0，1，2，3．则P（X=k）=$\frac{{∁}_{4}^{3-k}{∁}_{6}^{k}}{{∁}_{10}^{3}}$，可得：P（X=0）=$\frac{1}{30}$，P（X=1）=$\frac{3}{10}$，P（X=2）=$\frac{1}{2}$，
P（X=3）=$\frac{1}{6}$．
可得X分布列为：

X	0	1	2	3
P	$\frac{1}{30}$	$\frac{3}{10}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{6}$

EX=0×$\frac{1}{30}$+1×$\frac{3}{10}$+2×$\frac{1}{2}$+3×$\frac{1}{6}$=$\frac{9}{5}$．
（2）设从全市依次随机抽取10户，抽到Y户月用水量为第二阶梯水量，则Y～B$（10，\frac{3}{5}）$．
P（Y=k）=${∁}_{10}^{k}（\frac{3}{5}）^{k}（\frac{2}{5}）^{10-k}$（k=0，1，2，…，10）．
设t=$\frac{P（Y=k）}{P（Y=k-1）}$=$\frac{3（11-k）}{2k}$．
若t＞1，则k＜6.6，P（Y=k-1）＜P（Y=k-1）．若t＜1，则k＞6.6，P（Y=k-1）＞P（Y=k-1），
k取6，或7的可能性比较大．
经过验证k=6时，$\frac{P（Y=6）}{P（Y=7）}$=$\frac{7}{6}$＞1．∴n=6．

点评本题考查了茎叶图的性质及其应用、超几何分布列与二项分布列的概率计算与数学期望计算公式、组合数的计算公式、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．