Question

15．如图，已知点G是△ABC的重心，过点G作直线与AB、AC两边分别交于M、N两点，且$\overrightarrow{AM}$=$\frac{a}{3}$$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AN}$=$\frac{b}{6}$$\overrightarrow{AC}$，则$\frac{2}{a-1}$+$\frac{1}{b-2}$的最小值为3．

Answer 1

分析 由向量共线定理可得：$\overrightarrow{AG}$=m$\overrightarrow{AM}$+（1-m）$\overrightarrow{AN}$=$\frac{am}{3}\overrightarrow{AB}$+（1-m）×$\frac{b}{6}$$\overrightarrow{AC}$．利用三角形重心性质可得：$\overrightarrow{AG}$=$\frac{2}{3}×\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$．利用向量基本定理可得：$\frac{am}{3}=\frac{1}{3}$，（1-m）×$\frac{b}{6}$=$\frac{1}{3}$．化为：a-1=$\frac{2}{b-2}$．代入$\frac{2}{a-1}$+$\frac{1}{b-2}$利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：由向量共线定理可得：$\overrightarrow{AG}$=m$\overrightarrow{AM}$+（1-m）$\overrightarrow{AN}$=$\frac{am}{3}\overrightarrow{AB}$+（1-m）×$\frac{b}{6}$$\overrightarrow{AC}$．
$\overrightarrow{AG}$=$\frac{2}{3}×\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$．
∴$\frac{am}{3}=\frac{1}{3}$，（1-m）×$\frac{b}{6}$=$\frac{1}{3}$．
化为：a-1=$\frac{2}{b-2}$．
∴$\frac{2}{a-1}$+$\frac{1}{b-2}$=b-2+$\frac{1}{b-2}$≥2，当且仅当b=a=3时取等号．
故答案为：2．

点评 本题考查了向量共线定理、平面向量基本定理、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．