Question

已知f（log₂x）=

ax+b

x+ 2

（a∈R，x＞0）
（1）求函数y=f（x）的解析式；
（2）判断并用单调性定义证明函数y=f（x）的单调性．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数解析式的求解及常用方法

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：（1）利用换元法，令log₂x=t，则x=2^t，f（t）=

a2t+b

2t+ 2

，以x代t，得y=f（x）=

a2x+b

2x+ 2

，x∈R．
（2）利用定义，按照取值，作差，比较f（x₁）与f（x₂）大小关系，做出解答．

解答： 解：（1）∵f（log₂x）=

ax+b

x+ 2

，令log₂x=t，则x=2^t，∵x＞0，∴t∈R，
∴f（t）=

a2t+b

2t+ 2

，
以x代t，得y=f（x）=

a2x+b

2x+ 2

，x∈R．
（2）设x₁，x₂，是R上的任意两个实数，且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=

( 2 a-b)(2x1-2x2)

(2x1+ 2 )(2x2+ 2 )

，∵x₁＜x₂，∴2x1-2x2＜0，
当b＞

2

a时，f（x₁）-f（x₂）＞0，f（x₁）＞f（x₂），函数y=f（x）在R上是减函数，
当b=

2

a时，f（x₁）-f（x₂）=0，f（x₁）=f（x₂），函数y=f（x）在R上是常函数，
当b＜

2

a时，f（x₁）-f（x₂）＜0，f（x₁）＜f（x₂），函数y=f（x）在R上是增函数．

点评：本题考查函数的概念以及解析式表示函数，考查函数单调性的判断与证明，考查换元法，分类讨论的思想方法．