Question

设 x₁、x₂（x₁≠x₂）是函数f（x）=ax³+bx²-a²x（a＞0）的两个极值点．
（1）若x₁=-1，x₂=2，求函数f（x）的解析式；
（2）在（1）的条件下，求函数f（x）的单调区间，并确定其极值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的概念及应用

分析：（1）先求出函数的导数，从而得：

1=- 2b 3a -2=- a 3

，解出即可求出函数的表达式；
（2）由（1）求出函数的导函数，解不等式，从而求出函数的单调区间，进而求出函数的极值．

解答： 解：（1）∵f（x）=ax³+bx²-a²x（a＞0），
∴f′（x）=3ax²+2bx-a²（a＞0），
依题意有-1和2是方程3ax²+2bx-a²=0的两根
∴

1=- 2b 3a -2=- a 3

，解得

a=6 b=-9

，
∴f（x）=6x³-9x²-36x．（经检验，适合）                   
（2）由（1）得：f′（x）=18x²-18x-36，
令f′（x）＞0，解得：x＞2，x＜-1，
令f′（x）＜0，解得：-1＜x＜2，
∴函数f（x）的增区间：（-∞，-1），（2，+∞）；减区间：（-1，2）
∴当x=-1时，f（x）取得极大值21，当x=2时，f（x）取得极小值-60．

点评：本题考查了函数的单调性，函数的极值问题，求函数的表达式，是一道中档题．