题目内容
已知函数f（x）=x2sinx，各项均不相等的有限项数列{xn}的各项xi满足|xi|．令F（n）=
xi•
f（xi），n≥3且n∈N，例如：F（3）=（x1+x2+x3）（f（x1）+f（x2）+f（x3））．
（Ⅰ）若an=f（
π），{an}前n项和为Sn，求S19的值；
（Ⅱ）试判断下列给出的三个命题的真假，并说明理由．
①存在数列{xn}使得F（n）=0；
②如果数列{xn}是等差数列，则F（n）＞0；
③如果数列{xn}是等比数列，则F（n）＞0．
| ||
| i=1 |
| ||
| i1 |
（Ⅰ）若an=f（
| n |
| 2 |
（Ⅱ）试判断下列给出的三个命题的真假，并说明理由．
①存在数列{xn}使得F（n）=0；
②如果数列{xn}是等差数列，则F（n）＞0；
③如果数列{xn}是等比数列，则F（n）＞0．
考点：数列的应用
专题：等差数列与等比数列
分析：（I）由an=f（
π）=（
π）2sin（
π），利用分组求和吧，可得a4k-3+a4k-2+a4k-1+a4k=（2-4k）π2，（k∈N+），再由S19=S20得到答案．
（II）由题意，f（x）=x2sinx是奇函数，只需考查0＜x≤1时的性质，此时y=x2，y=sinx都是增函数，得f（x）=x2sinx在[0，1]上是增函数；即f（x）=x2sinx在[-1，1]上是增函数．
x1+x2＜0时，得f（x1）+f（x2）＜0，x1+x2＞0时，得f（x1）+f（x2）＞0；即x1+x2≠0时，（x1+x2）（f（x1）+f（x2））＞0；
判定①是正确的，如{xn}满足x1+x2+…+xn=0时；
②是错误的，如x1+x2+…+xn=0时，F（n）=0；
③是正确的，如数列{xn}是等比数列，各项符号一致的情况显然符合；各项符号不一致时，公比q＜0，讨论n是偶数，n是奇数时，都有F（n）＞0．
| n |
| 2 |
| n |
| 2 |
| n |
| 2 |
（II）由题意，f（x）=x2sinx是奇函数，只需考查0＜x≤1时的性质，此时y=x2，y=sinx都是增函数，得f（x）=x2sinx在[0，1]上是增函数；即f（x）=x2sinx在[-1，1]上是增函数．
x1+x2＜0时，得f（x1）+f（x2）＜0，x1+x2＞0时，得f（x1）+f（x2）＞0；即x1+x2≠0时，（x1+x2）（f（x1）+f（x2））＞0；
判定①是正确的，如{xn}满足x1+x2+…+xn=0时；
②是错误的，如x1+x2+…+xn=0时，F（n）=0；
③是正确的，如数列{xn}是等比数列，各项符号一致的情况显然符合；各项符号不一致时，公比q＜0，讨论n是偶数，n是奇数时，都有F（n）＞0．
解答：
解：（I）∵an=f（
π）=（
π）2sin（
π），
∴a4k-3+a4k-2+a4k-1+a4k=（2-4k）π2，（k∈N+），
∴S19=S20=-（2+6+10+14+18）π2=-50π2，
（II）由题意，得f（x）=x2sinx是奇函数，
当0＜x≤1时，y=x2，y=sinx都是增函数，
∴f（x）=x2sinx在[0，1]上递增，
∴f（x）=x2sinx在[-1，1]上是增函数；
若x1+x2＜0，则x1＜-x2，
∴f（x1）＜f（-x2），
即f（x1）＜-f（x2），
∴f（x1）+f（x2）＜0；
同理若x1+x2＞0，可得f（x1）+f（x2）＞0；
∴x1+x2≠0时，（x1+x2）（f（x1）+f（x2））＞0．
对于①，显然是正确的，如{xn}满足x1+x2+…+xn=0时；
对于②，显然是错误的，如x1+x2+…+xn=0，F（n）=0时；
对于③，是正确的，当数列{xn}是等比数列，且各项符号一致的情况时显然符合题意；
若各项符号不一致，则公比q＜0，
若n是偶数，（x2i-1+x2i）=x1q2i-2（1+q），i=1，2，…，
符号一致，
又（x2i-1+x2i），[f（x2i-1）+f（x2i）]符号一致，
∴符合F（n）＞0；
若n是奇数，可证明“（x2i-1+x2i）=x1q2i-2（1+q），i=1，2，…，
和xn=x1qn-1符号一致”，
或者“（x2i-1+x2i）=x1q2i-2（1+q），i=1，2，…，
和x1符号一致”，
同理可证符合F（n）＞0；
综上，正确的命题是①③．
| n |
| 2 |
| n |
| 2 |
| n |
| 2 |
∴a4k-3+a4k-2+a4k-1+a4k=（2-4k）π2，（k∈N+），
∴S19=S20=-（2+6+10+14+18）π2=-50π2，
（II）由题意，得f（x）=x2sinx是奇函数，
当0＜x≤1时，y=x2，y=sinx都是增函数，
∴f（x）=x2sinx在[0，1]上递增，
∴f（x）=x2sinx在[-1，1]上是增函数；
若x1+x2＜0，则x1＜-x2，
∴f（x1）＜f（-x2），
即f（x1）＜-f（x2），
∴f（x1）+f（x2）＜0；
同理若x1+x2＞0，可得f（x1）+f（x2）＞0；
∴x1+x2≠0时，（x1+x2）（f（x1）+f（x2））＞0．
对于①，显然是正确的，如{xn}满足x1+x2+…+xn=0时；
对于②，显然是错误的，如x1+x2+…+xn=0，F（n）=0时；
对于③，是正确的，当数列{xn}是等比数列，且各项符号一致的情况时显然符合题意；
若各项符号不一致，则公比q＜0，
若n是偶数，（x2i-1+x2i）=x1q2i-2（1+q），i=1，2，…，
| n |
| 2 |
又（x2i-1+x2i），[f（x2i-1）+f（x2i）]符号一致，
∴符合F（n）＞0；
若n是奇数，可证明“（x2i-1+x2i）=x1q2i-2（1+q），i=1，2，…，
| n-1 |
| 2 |
或者“（x2i-1+x2i）=x1q2i-2（1+q），i=1，2，…，
| n-1 |
| 2 |
同理可证符合F（n）＞0；
综上，正确的命题是①③．
点评：本题通过命题真假的判定，考查了新定义的函数的性质以及应用问题，函数的单调性与奇偶性问题，等差与等比数列的性质与应用问题，是综合题．
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