Question

已知函数f（x）=x²+2x+alnx． 
（1）当a=-4时，求函数f（x）的单调递增区间；
（2）若f（x）在区间（0，1）上是单调函数 a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）f′（x）=2x+2+

a

x

，（x＞0）．当a=-4时，f′（x）=2x+2-

4

x

=

2(x+2)(x-1)

x

．令f′（x）≥0，解得x的取值范围即可．
（2）f′（x）=

2x2+2x+a

x

，由于f（x）在区间（0，1）上是单调函数，可得f′（x）≥0，x∈（0，1）恒成立．
因此f′（0）=a≥0恒成立，解出即可．

解答： 解：（1）f′（x）=2x+2+

a

x

，（x＞0）．
当a=-4时，f′（x）=2x+2-

4

x

=

2(x+2)(x-1)

x

．
令f′（x）≥0，解得x≥1．
∴函数f（x）的单调递增区间为[1，+∞）．
（2）f′（x）=

2x2+2x+a

x

，
∵f（x）在区间（0，1）上是单调函数，
∴f′（x）≥0，x∈（0，1）恒成立．
∴f′（0）=a≥0恒成立，
∴a的取值范围是[0，+∞）．

点评：本题查克拉利用导数研究函数的单调性、恒成立问题的等价转化方法，考考查了推理能力与计算能力，属于中档题．