题目内容
已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c（a、b、c∈R）的图象如图所示，它与x轴在原点处相切，且x轴与函数图象所围成的区域（图中阴影部分）的面积为| 1 |
| 12 |
考点：定积分
专题：导数的概念及应用
分析：根据图象所过点（0，0），及y=0与在原点处与函数图象相切可求b，c，由题目中给出了区域的面积，我们可以从定积分着手，求出函数以及函数与x轴的交点，建立方程可求解参数．
解答：
解：由图象知，f（0）=0，得c=0，
f′（x）=3x2+2ax+b，由f′（0）=0，得b=0，
∴f（x）=x3+ax2=x2（x+a），
令f（x）=0，可得x=0或者x=-a，
可以得到图象与x轴交点为（0，0），（-a，0），
故对-f（x）从0到-a求定积分即为所求面积，即∫0-a[-f（x）]dx=
，
∫0-a（-x3-ax2）dx=
，解得a=-1．
故答案为：-1．
f′（x）=3x2+2ax+b，由f′（0）=0，得b=0，
∴f（x）=x3+ax2=x2（x+a），
令f（x）=0，可得x=0或者x=-a，
可以得到图象与x轴交点为（0，0），（-a，0），
故对-f（x）从0到-a求定积分即为所求面积，即∫0-a[-f（x）]dx=
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∫0-a（-x3-ax2）dx=
| 1 |
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故答案为：-1．
点评：考查学生利用定积分的方法求平面图形面积的能力．
练习册系列答案
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