Question

9．如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AC，BD相交于O点，AB=BC=2，异面直线DB与D₁C所成的角的余弦值$\frac{\sqrt{10}}{10}$
（Ⅰ）求此长方体的体积；
（Ⅱ）求截面D₁AC和底面ABCD所成二面角（锐角）的余弦值；
（Ⅲ）在棱B₁B上找一点P，使得PD⊥平面D₁AC．

Answer 1

分析 （Ⅰ）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系D-xyz，利用向量法能求出此长方体的体积．
（Ⅱ）求出平面ABCD的一个法向量和平面D₁AC的法向量，利用向量法能求出截面D₁AC和底面ABCD所成二面角（锐角）的余弦值．
（Ⅲ）设P（2，2，z），则$\overrightarrow{DP}$=（2，2，z），由PD⊥平面D₁AC，利用向量法能求出棱B₁B上存在一点P，当BP=1时，使得PD⊥平面D₁AC．

解答 解：（Ⅰ）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系D-xyz，
则A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），
设D₁（0，0，h），则$\overrightarrow{DB}$=（2，2，0），$\overrightarrow{{D}_{1}C}$=（0，2，-h），
∵异面直线DB与D₁C所成的角的余弦值$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
∴cos＜$\overrightarrow{DB}$，$\overrightarrow{{D}_{1}C}$＞=$\frac{\overrightarrow{DB}•\overrightarrow{{D}_{1}C}}{|\overrightarrow{DB}|•|\overrightarrow{{D}_{1}C}|}$
=$\frac{4}{2\sqrt{2}•\sqrt{4+h}}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，解得h=4，
∴此长方体的体积V=Sh=2×2×4=16．
（Ⅱ）$\overrightarrow{D{D}_{1}}$=（0，0，4）是平面ABCD的一个法向量，
$\overrightarrow{AC}$=（-2，2，0），
$\overrightarrow{A{D}_{1}}$=（-2，0，4），
设平面D₁AC的法向量$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{m}=x-y=0}\\{\overrightarrow{A{D}_{1}}•\overrightarrow{m}=x-2z=0}\end{array}\right.$，取x=2，得$\overrightarrow{m}$=（2，2，1），
设截面D₁AC和底面ABCD所成二面角（锐角）的平面角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{D{D}_{1}}•\overrightarrow{m}|}{|\overrightarrow{D{D}_{1}}|•|\overrightarrow{m}|}$=$\frac{4}{4×3}$=$\frac{1}{3}$，
∴截面D₁AC和底面ABCD所成二面角（锐角）的余弦值为$\frac{1}{3}$．
（Ⅲ）设P（2，2，z），则$\overrightarrow{DP}$=（2，2，z），
∵PD⊥平面D₁AC，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{DP}•\overrightarrow{AC}=-4+4=0}\\{\overrightarrow{DP}•\overrightarrow{A{D}_{1}}=-4+4z=0}\end{array}\right.$，解得z=1．
∴棱B₁B上存在一点P，当BP=1时，使得PD⊥平面D₁AC．

点评 本题考查长方体的体积的求法，考查二面角的余弦值的求法，考查满足线面垂直的点的位置的确定与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．