Question

如图，给定抛物线C：y²=4x，F是C的焦点，过点F的直线l与C相交于A、B两点，O为坐标原点
（1）设l的斜率为1，求以AB为直径的圆的方程；
（2）若

FA

=2

BF

，求直线l的方程．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设A，B两点坐标，联立中心与抛物线组成方程组，求得AB的中点坐标，求出AB的长，然后求以AB为直径的圆的方程；
（2）设出A、B坐标，利用|FA|=2|BF|，转化为向量共线关系，以及A、B在直线和抛物线上，求出A、B坐标然后求直线l的方程．

解答： 解：（1）由题意，得F（1，0），直线l的方程为y=x-1．
代入抛物线方程，得x²-6x+1=0，
设A，B两点坐标为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中点M的坐标为M（x₀，y₀），
因为△=6²-4=32＞0，所以x₁+x₂=6，x₁x₂=1，
所以圆心为M（3，2），
由抛物线定义，得|AB|=|AF|+|BF|=x₁+x₂+p=8（其中p=2）．
所以以AB为直径的圆的方程为（x-3）²+（y-2）²=16；
（2）因为|FA|=2|BF|，三点A，F，B共线且点A，B在点F两侧，
所以设A，B两点坐标为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则

FA

=（x₁-1，y₁），

BF

=（1-x₂，-y₂），
所以x₁-1=2（1-x₂），y₁=-2y₂…①
设直线AB的方程为y=k（x-1）或x=1（不符合题意，舍去）．
代入抛物线方程，得ky²-4y-4k=0，
因为直线l与C相交于A，B两点，所以k≠0，
则△=16+16k²＞0，y₁+y₂=

4

k

，y₁y₂=-4，…②
由①②，得方程组k=±2

2

，
故直线l的方程为y=±2

2

（x-1）．

点评：本题考查圆的方程，直线和圆的方程的应用，考查转化思想，函数与方程的思想，是中档题．