Question

在数列{a_n}中，a₁=1，a₁+

a2

2

+

a3

3

+…+

an

n

=2ⁿ-1（n∈N^*）
（Ⅰ）求数列{a_n}的前n项和S_n；
（Ⅱ）若存在n∈N^*，使得a_n≤n（n+1）λ成立，求实数λ的最小值．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：综合题,不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）在递推式中取n取n-1得另一递推式，作差后得到数列{a_n}的通项公式，然后利用错位相减法求其前n项和；
（Ⅱ）把数列的通项公式代入a_n≤n（n+1）λ，分离参数λ后构造辅助函数f(n)=

2n-1

n+1

，利用作商法得到该函数为增函数，求出函数的最小值得答案．

解答： 解：（Ⅰ）∵a1+

a2

2

+

a3

3

+…+

an

n

=2n-1     ①
∴a1+

a2

2

+

a3

3

+…+

an-1

n-1

=2n-1-1（n≥2）②
①-②得：

an

n

=2n-1(n≥2)，
∴an=n•2n-1（n≥2）．
验证n=1时成立．
∴Sn=1×20+2×21+…+(n-1)2^n-2+n•2^n-1
则2Sn=1×21+2×22+…+(n-1)2^n-1+n•2ⁿ
两式相减得：-Sn=1+21+22+…+2n-1-n•2n=-1-（n-1）2ⁿ
∴Sn=1+(n-1)2n；
（Ⅱ）∵an=n•2n-1，
由a_n≤n（n+1λ，得λ≥

an

n(n+1)

=

2n-1

n+1

，
令f(n)=

2n-1

n+1

，
∵

f(n+1)

f(n)

=

2n

n+2

•

n+1

2n-1

=

2n+2

n+2

＞1，
∴f（n）单调递增，
∴fmin(n)=f(1)=

1

2

，
∴λ≥

1

2

，
故λ的最小值为

1

2

．

点评：本题是数列与不等式的综合题，考查了作差法求数列的通项公式，训练了利用错位相减法求数列的和，分离变量λ并构造函数是解答（Ⅱ）的关键，是中档题．