Question

已知函数f（x）=

1

x

+alnx（a不是0）
（Ⅰ）若a=1，求函数f（x）的极值和单调区间；
（Ⅱ） 若在区间[1，e]上至少存在一点x₀，使得f（x₀）＜0成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）通过a=1，求出函数的导数，利用导数为0求出极值点，判断导函数的符号即可求解函数单调区间；
（Ⅱ） 求出函数的导数，求解极值点，转化在区间[1，e]上至少存在一点x₀，使得f（x₀）＜0成立，为求解函数的最值问题，利用a的取值范围的讨论，求解函数的最值，即可求得实数a的取值范围．

解答： 解：（I）因为f′(x)=-

1

x2

+

a

x

=

ax-1

x2

，…（2分）
当a=1，f′(x)=

x-1

x2

，令f'（x）=0，得 x=1，又f（x）的定义域为（0，+∞），f'（x），f（x）随x的变化情况如下表：

x	（0，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	-	0	+
f（x）	↘	极小值	↗

所以x=1时，f（x）的极小值为1．…（4分）f（x）的单调递增区间为（1，+∞），单调递减区间为（0，1）；    …（5分）
（II）因为f′(x)=-

1

x2

+

a

x

=

ax-1

x2

，且a≠0，令f'（x）=0，得到x=

1

a

，
若在（0，e]上存在一点x₀，使得f（x₀）＜0成立，其充要条件是f（x）在区间（0，e]上的最小值小于0即可．（1）当x=

1

a

＜0，即a＜0时，f'（x）＜0对x∈（0，+∞）成立，所以f（x）在区间（0，e]上单调递减，
故f（x）在区间（0，e]上的最小值为f(e)=

1

e

+alne=

1

e

+a，
由

1

e

+a＜0，得a＜-

1

e

，即a∈(-∞，-

1

e

)…（8分）
（2）当x=

1

a

＞0，即a＞0时，
①若e≤

1

a

，则f'（x）≤0对x∈（0，e]成立，所以f（x）在区间（0，e]上单调递减，
所以，f（x）在区间（0，e]上的最小值为f(e)=

1

e

+alne=

1

e

+a＞0，
显然，f（x）在区间（0，e]上的最小值小于0不成立    …（10分）
②若0＜

1

a

＜e，即a＞

1

e

时，则有

x	(0， 1 a )	1 a	( 1 a ，e)
f'（x）	-	0	+
f（x）	↘	极小值	↗

所以f（x）在区间（0，e]上的最小值为f(

1

a

)=a+aln

1

a

，
由f(

1

a

)=a+aln

1

a

=a(1-lna)＜0，
得 1-lna＜0，解得a＞e，即a∈（e，+∞）．
综上，由（1）（2）可知：a∈(-∞，-

1

e

)∪(e，+∞)符合题意．…（12分）

点评：本题考查函数的导数的应用，考查分类讨论思想的应用，同时考查转化思想的应用．