Question

已知函数f（x）=-3x+27，数列{b_n}满足b_n=f（n），试判断数列{b_n}是否为等差数列，并求{b_n}的前n项和S_n的最大值．

Answer 1

考点：等差数列的前n项和,数列的函数特性

专题：等差数列与等比数列

分析：取任意n≥11，b_n+1-b_n=f（n+1）-f（n）=-3（n+1）+27-[-3n+27]=-3，由此得﹛bn﹜是首项为24，公差为-3的等差数列，从而S_n=

n

2

(b1+bn)=

n

2

(24+27-3n)=

n(51-3n)

2

，进而能求出S_n的最大项是S₈=S₉=108．

解答： 解：取任意n≥11，b_n+1-b_n=f（n+1）-f（n）=-3（n+1）+27-[-3n+27]=-3
b₁=f（1）=24，bn=f（n）=-3n+27
根据等差数列定义，﹛bn﹜是首项为24，公差为-3的等差数列．
S_n=

n

2

(b1+bn)=

n

2

(24+27-3n)=

n(51-3n)

2

可以看做是一个一元二次函数，
函数开口向下，对称轴是n=

17

2

，
∵n是正整数，∴取离n最近的正整数8和9，得S₈=S₉=108．
则S_n的最大项是S₈=S₉=108．

点评：本题考查等差数列的判断，考查{b_n}的前n项和S_n的最大值的求法，是中档题，解题时要注意等差数列的性质的合理运用．