Question

9．如图，已知△ABC中，D为BC上一点，∠DAC=$\frac{π}{4}$，cos∠BDA=-$\frac{3}{5}$，AC=4$\sqrt{2}$．
（ I）求AD的长；
（ II）若△ABD的面积为14，求AB的长．

Answer 1

分析 （ I）由已知利用同角三角函数基本关系式可求$sin∠BDA=\frac{4}{5}$，利用两角差的正弦函数公式可求sinC，进而利用正弦定理即可求得AD的值．
（ II）由已知及三角形面积公式可求BD的值，进而利用余弦定理可求AB的值．

解答 （本小题满分12分）
解：（ I）∵$cos∠BDA=-\frac{3}{5}$，
∴$sin∠BDA=\frac{4}{5}$，…（1分）
$sinC=sin（∠BDA-\frac{π}{4}）$=$sin∠BDA•cos\frac{π}{4}-cos∠BDA•sin\frac{π}{4}$=$\frac{4}{5}•\frac{{\sqrt{2}}}{2}+\frac{3}{5}•\frac{{\sqrt{2}}}{2}=\frac{{7\sqrt{2}}}{10}$，…（4分）
由正弦定理得$\frac{AC}{sin∠ADC}=\frac{AD}{sinC}$，即$\frac{{4\sqrt{2}}}{{\frac{4}{5}}}=\frac{AD}{{\frac{{7\sqrt{2}}}{10}}}$，得AD=7；…（6分）
（ II）${S_{△ABD}}=\frac{1}{2}•AD•BD•sin∠ADB=\frac{1}{2}•7•BD•\frac{4}{5}=14$，得BD=5，…（8分）
由余弦定理得$A{B^2}=A{D^2}+B{D^2}-2AD•BD•cos∠ADB=49+25-2×7×5×（-\frac{3}{5}）=116$，…（10分）
∴$AB=2\sqrt{29}$…（12分）

点评 本题主要考查了正、余弦定理及三角形面积公式，同角三角函数基本关系式，两角差的正弦函数公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．