Question

7．（1）已知f（x+1）=4x²+2x+1求f（x）的解析式．
（2）若函数f（x）是二次函数且满足f（x+2）-2f（x）=x²-5x，求f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）把f（x+1）化成关于（x+1）的式子，得出f（x）的解析式；
（2）利用待定系数法确定函数关系式，再由配方求出值域．

解答 解：（1）f（x+1）=4x²+2x+1=4（x+1）²-6（x+1）+3，
∴f（x）=4x²-6x+3；
（2）设f（x）=ax²+bx+c，
则f（x+2）=a（x+2）²+b（x+2）+c=ax²+（4a+b）x+4a+2b+c，
∴f（x+2）-2f（x）=ax²+（4a+b）x+4a+2b+c-2ax²-2bx-2c=-ax²+（4a-b）x+4a+2b-c，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-a=1}\\{4a-b=-5}\\{4a+2b-c=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=1}\\{c=-2}\end{array}\right.$，
∴f（x）=-x²+x-2=-（x-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{7}{4}$≤-$\frac{7}{4}$，
∴f（x）的值域为（-∞，-$\frac{7}{4}$]．

点评 本题考查了函数解析式的求法，二次函数的性质，属于中档题．