Question

5．若曲线${C_1}：y=1+\sqrt{-{x^2}+2x}$与曲线C₂：（y-1）•（y-kx-2k）=0有四个不同的交点，则实数k的取值范围为（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{4}$）．

Answer 1

分析 作出两曲线图象，根据交点个数判断直线的斜率范围即可．

解答 解：由y=1+$\sqrt{-{x}^{2}+2x}$得（x-1）²+（y-1）²=1（y≥1），
曲线C₁表示以（1，1）为圆心以1为半径的上半圆，
显然直线y=1与曲线C₁有两个交点，交点为半圆的两个端点．
∴直线y=kx+2k=k（x+2）与半圆有2个除端点外的交点，

当直线y=k（x+2）经过点（0，1）时，k=$\frac{1}{2}$，
当直线y=k（x+2）与半圆相切时，$\frac{|3k-1|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，解得k=$\frac{3}{4}$或k=0（舍），
∴当$\frac{1}{2}$＜k＜$\frac{3}{4}$时，直线y=k（x+2）与半圆有2个除端点外的交点，
故答案为：$（\frac{1}{2}，\frac{3}{4}）$

点评 本题考查了方程解与函数图象的关系，直线与圆的位置关系，属于中档题．