Question

已知函数f（x）周期为4，且当x∈（-1，3]时，f（x）=

m 1-x2 ，x∈(-1，1] 1-|x-2|，x∈(1，3]

，其中m＞0．若方程3f（x）=x恰有5个实数解，则m的取值范围为（　　）

• A、（

  15

  3

  ，

  8

  3

  ）
• B、（

  15

  3

  ，

  7

  ）
• C、（

  4

  3

  ，

  8

  3

  ）
• D、（

  4

  3

  ，

  7

  ）

Answer 1

考点：函数的周期性,根的存在性及根的个数判断

专题：函数的性质及应用

分析：根据对函数的解析式进行变形后发现当x∈（-1，1]，[3，5]，[7，9]上时，f（x）的图象为半个椭圆．根据图象推断要使方程恰有5个实数解，则需直线y=

x

3

与第二个椭圆相交，而与第三个椭圆不公共点．把直线分别代入椭圆方程，根据△可求得m的范围．

解答： 解：∵当x∈（-1，1]时，将函数化为方程x²+

y2

m2

=1（y≥0），
∴实质上为一个半椭圆，其图象如图所示，
同时在坐标系中作出当x∈（1，3]得图象，再根据周期性作出函数其它部分的图象，
由图易知直线 y=

x

3

与第二个椭圆（x-4）²+

y2

m2

=1=1（y≥0）相交，
而与第三个半椭圆（x-8）²+

y2

m2

=1=1 （y≥0）无公共点时，方程恰有5个实数解，
将 y=

x

3

代入（x-4）²+

y2

m2

=1=1 （y≥0）得，（9m²+1）x²-72m²x+135m²=0，令t=9m²（t＞0），
则（t+1）x²-8tx+15t=0，由△=（8t）²-4×15t （t+1）＞0，得t＞15，由9m²＞15，且m＞0得 m ＞

15

3

，
同样由 y=

x

3

与第三个椭圆（x-8）²+

y2

m2

=1=1 （y≥0）由△＜0可计算得 m＜

7

，
综上可知m∈（

15

3

，

7

）
故选B．

点评：本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，及函数的周期性，其中根据方程根与函数零点的关系，结合函数解析式进行分析是解答本题的关键．