Question

【题目】如图所示的几何体是由以等边三角形ABC为底面的棱柱被平面DEF所截而得，已知FA⊥平面ABC，AB=2，AF=2，BD=1，CE=3，O为BC的中点．

（1）求证：面EFD⊥面BCED；

（2）求平面DEF与平面ACEF所成锐二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】试题分析：（1）取DE的中点G，以O为原点，OC为x轴，OA为y轴，OG为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明平面DEF⊥平面BCED．（2）求出平面DEF的一法向量和平面ACEF的一法向量，利用向量法能求出平面DEF与平面ACEF相交所成锐角二面角的余弦值．

试题解析：

（1）取DE的中点G，以O为原点，OC为x轴，OA为y轴，OG为z轴，建立空间直角坐标系，如图，

则A（0，，0）、B（0，﹣1，0）、C（1，0，0）、D（﹣1，0，1），E（1，0，3）、F（0，，2）、G（0，0，2），

=（2，0，2），=（1，，1），

设平面DEF的一法向量=（x，y，z），

则，取x=1，则y=0，z=﹣1，

∴=（1，0，﹣1），

平面BCED的一法向量为=（0，1，0），

∵=0，

∴平面DEF⊥平面BCED．

（2）由（1）知平面DEF的一法向量=（1，0，﹣1），

设平面ACEF的一法向量=（a，b，c），

=（1，﹣，0），=（0，0，2），

则，取b=1，得=（），

cos＜＞===，

∴平面DEF与平面ACEF相交所成锐角二面角的余弦值为．