[题目]在平面直角坐标系中.动点到两点的距离之和等于4.设点的轨迹为曲线.直线过点且与曲线交于两点.(Ⅰ)求曲线的方程,(Ⅱ)的面积是否存在最大值.若存在.求出的面积的最大值,若不存在.说明理由. 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

【题目】在平面直角坐标系中，动点到两点的距离之和等于4，设点的轨迹为曲线，直线过点且与曲线交于两点.

（Ⅰ）求曲线的方程；

（Ⅱ）的面积是否存在最大值，若存在，求出的面积的最大值；若不存在，说明理由.

【答案】（1）（2）的最大值为

【解析】试题分析：（Ⅰ）利用椭圆的定义进行求解；（Ⅱ）设出直线方程，联立直线和椭圆的方程，得到关于的一元二次方程，利用根与系数的关系、三角形的面积公式得到表达式，再利用换元思想和函数的单调性进行求解.

试题解析：（1）由椭圆定义知，点的轨迹是以为焦点，长半轴长为2的椭圆.故曲线的方程为.

（2）存在面积的最大值

因为直线过，可设直线的方程为.

则

整理得

由

设

解得

则

设

则在区间上为增函数

所以

所以当且仅当时取等号

所以的最大值为

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8

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