Question

【题目】已知圆，圆．

（Ⅰ）试判断圆与圆的位置关系；

（Ⅱ）在直线上是否存在不同于的一点，使得对于圆上任意一点都有为同一常数．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）相交；（II）．

【解析】分析：（Ⅰ）根据几何法和代数法两种方法可判断两圆的位置关系．（Ⅱ）假设存在满足条件的点和，根据为常数得到关于的方程，将此方程与圆的方程比较可得所求结果．

详解：（Ⅰ）由题意得圆的标准方程为，

的标准方程为．

∴两圆的圆心距为，

又两圆的半径之差,两圆的半径之和 ，

∴ ，

∴两圆相交．

解法二:由，

解得，

所以两圆有两个公共点，

所以两圆相交．

（Ⅱ）由题意得直线的方程为．

假设直线上存在不同于的一点满足条件，设,，

则由题意得，

化简得，

显然上式与圆的方程为同一方程，

则

解得或（不合题意，舍去）．

所以所求的点的坐标为．