Question

9．点A（0，2）是圆x²+y²=16内的定点，B，C是这个圆上的两个动点，若BA⊥CA，求BC中点M的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么曲线．

Answer 1

分析 设M（x，y），则由垂径定理，可得OM⊥BC，利用|MB|²=|OB|²-|OM|²，|OB|²=|MO|²+|MA|²，即可求BC中点M的轨迹方程．

解答 解：设点M（x，y），因为M是弦BC的中点，故OM⊥BC．
又∵∠BAC=90°，∴|MA|=$\frac{1}{2}$|BC|=|MB|．
∵|MB|²=|OB|²-|OM|²，
∴|OB|²=|MO|²+|MA|²，即4²=（x²+y²）+[（x-0）²+（y-2）²]，化简为x²+y²-2y-6=0，
即x²+（y-1）²=7．
∴所求轨迹为以（0，1）为圆心，以$\sqrt{7}$为半径的圆． …（12分）

点评 垂径定理的使用，让我们的关系在寻找M的坐标中的x与y时，跳过了两个动点B，C，而直达一个非常明确的结果，减少了运算量．