Question

5．$f（x）=\frac{1}{2}（{cosx-sinx}）（{cosx+sinx}）+3a（{sinx-cosx}）+（{4a-1}）x$在$[{-\frac{π}{2}，0}]$上单调递增，则实数a的取值范围为[1，+∞）．

Answer 1

分析 求导数，利用函数单调递增，导数大于等于0，即可得出结论．

解答 解：f′（x）=-sin2x+3a（cosx+sinx）+（4a-1），
设t=cosx+sinx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）∈[-1，1]，y=-t²+3at+4a≥0恒成立，
∴a≥$\frac{{t}^{2}}{3t+4}$=$\frac{1}{4（\frac{1}{t}+\frac{3}{8}）^{2}-\frac{9}{16}}$，不等式右边的最大值为1，
∴a≥1．
故答案为[1，+∞）．

点评 本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，正确求导是关键．