Question

已知函数f（x）=x（

1

2x-1

+

1

2

）
（1）判定并证明函数的奇偶性；
（2）试证明f（x）＞0在定义域内恒成立；
（3）当x∈[1，3]时，2f（x）-（

1

2

）^m•x＜0恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断,函数恒成立问题

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：（1）先求函数定义域，然后判断f（x）与f（-x）的关系，根据奇偶性的定义可作出判断；
（2）先利用指数函数的性质证明x＞0时f（x）＞0，然后利用偶函数的性质证明x＜0时f（x）＞0；
（3）2f（x）-（

1

2

）^m•x＜0对x∈[1，3]恒成立，分离参数后可得（

1

2

）^m＞2（

1

2x-1

+

1

2

），令g(x)=2 (

1

2x-1

+

1

2

)，则问题化为g（x）_max，利用基本函数的单调性可求得g（x）_max；

解答： 解：（1）f(x)=x (

1

2x-1

+

1

2

)为偶函数，证明如下：
f(x)=x (

1

2x-1

+

1

2

)的定义域为：{x|x≠0}关于原点对称，
对于任意x∈{x|x≠0}有：f(-x)=-x (

1

2-x-1

+

1

2

)=x(

2x

2x-1

-

1

2

)=x(

2x-1+1

2x-1

-

1

2

)
=x (1+

1

2x-1

-

1

2

)=x (

1

2x-1

+

1

2

)=f(x)成立，
∴f(x)=x (

1

2x-1

+

1

2

)为偶函数；
（2）∵f(x)=x (

1

2x-1

+

1

2

)定义域为：{x|x≠0}，
当x＞0时，2^x＞2⁰=1，∴2^x-1＞0，∴

1

2x-1

+

1

2

＞0，x＞0，
∴f(x)=x(

1

2x-1

+

1

2

)＞0恒成立；
当x＜0时，-x＞0，由（1）可知：f（x）=f（-x）＞0，
综上所述，f（x）＞0在定义域内恒成立．
（3）2f（x）-（

1

2

）^m•x＜0对x∈[1，3]恒成立，
∴2x（

1

2x-1

+

1

2

）-（

1

2

）^m•x＜0，∴（

1

2

）^m＞2（

1

2x-1

+

1

2

），
令g(x)=2 (

1

2x-1

+

1

2

)，
当x∈[1，3]时，2^x-1递增，

1

2x-1

递减，
∴g(x)=2 (

1

2x-1

+

1

2

)在[1，3]上为减函数，
∴g(x)=2 (

1

2x-1

+

1

2

)≤g(1)=3对x∈[1，3]恒成立，
∴(

1

2

)m＞3，解得m的取值范围是m＜log

1

2

3．

点评：该题考查函数的奇偶性、单调性的判断，考查恒成立问题的求解，考查转化思想，定义是研究函数基本性质的常用方法，要熟练掌握．