Question

已知x，y为正实数，求

x

2x+y

+

2y

x+2y

的值域．

Answer 1

考点：基本不等式,函数的值域

专题：导数的综合应用,不等式的解法及应用

分析：本题可先通过换元，将原式转化为一个函数问题，然后分类讨论，或导函数研究单调性，得到取值范围，或利用不等式得到函数的取值范围，得到本题的结论．

解答： 解：∵

x

2x+y

+

2y

x+2y

=

1

2+ y x

+

2 y x

1+2 y x

，
∴令

y

x

=t，
f（t）=

1

2+t

+

2t

1+2t

，t＞0．
f(t)=

1

t+2

+1-

1

2t+1

=

t-1

(t+2)(2t+1)

+1，
令t-1=s，则g(s)=

s

2s2+9s+9

+1，（s＞-1）．
当s=0时，g（s）=1；
当s≠0时，g(s)=

1

2s+ 9 s +9

+1，
当-1＜s＜0时，(2s+

9

s

)′=2-

9

s2

=

2s2-9

s2

=

2(s2- 9 2 )

s2

＜0，
2s+

9

s

单调递减，2s+

9

s

＜-11，2s+

9

s

+9＜-2，
则-

1

2

＜

1

2s+ 9 s +9

＜0，g(s)∈(

1

2

，1)；
当s＞0时，2s+

9

s

≥2

2s• 9 s

=6

2

，
则0＜

1

2s+ 9 s +9

≤

1

9+6 2

，g(s)∈(1，2-

2

3

2

]；
综上所述，g(s)∈(

1

2

，2-

2

3

2

]．
∴函数

x

2x+y

+

2y

x+2y

的值域为(

1

2

，2-

2

3

2

]．

点评：本题考查了函数值域的求法、导数法求单调性、不等式法求最值，还考查了学生化归转化的数学思想，换元时要注意新变量的取值范围．本题有一定的难度，属于中档题．