Question

已知函数f（x）=e^x-a（x+2）-b（e为自然对数的底，a，b∈R）．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若函数f（x）的最小值为0，求b的最大值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（1）先对函数求导，令导函数大于0得到递增区间，令导函数小于0得到递减区间；
（2）函数f（x）的最小值为0求出b的值，令h（x）=-x-lnx，求出 h′（x）．判断h（x）的单调性，求极值点，继而得到答案．

解答： 解：（1）f'（x）=e^x-a，
若a≤0，则f'（x）≥0恒成立，则f（x）在区间（-∞，+∞）上是单调递增；
若a＞0，由f'（x）＞0解得x＞lna，
f（x）在区间（lna，+∞）上单调递增，在区间（-∞，lna）上单调递减．
（2）若a≤0，则f'（x）≥0恒成立，则f（x）在区间（-∞，+∞）上单调递增，函数f（x）不存在最小值；
若a＞0，由（1）f（x）在区间（lna，+∞）上单调递增，在区间（-∞，lna）上单调递减，
∴函数f（x）的最小值是f（lna）=a-a（lna+2）-b，因此b=-a-alna，
记h(x)=-x-xlnx，h′(x)=-1-lnx-x•

1

x

=-lnx-2，
由h'（x）=0⇒x=e^-2，
且当0＜x＜e^-2时，h'（x）＞0，
且当x＞e^-2时，h'（x）＜0，
所以h（x）的最大值是h（e^-2）=e^-2，即b的最大值是e^-2．

点评：本题考查导数知识的运用，考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，要注意求极值时，导数等于0根的左右单调性的判断．考查了分析解决问题的能力．