Question

已知直线方程为（2+λ）x+（1-2λ）y+4-3λ=0．
（1）求证不论λ取何实数值，此直线必过定点；
（2）过这定点引一直线，使它夹在两坐标轴间的线段被这点平分，求这条直线方程．

Answer 1

考点：直线的一般式方程

专题：直线与圆

分析：（1）将直线的方程：（2+λ）x+（1-2λ）y+4-3λ=0是过某两直线交点的直线系，故其一定通过某个定点，将其整理成直线系的标准形式，求两定直线的交点此点即为直线恒过的定点．
（2）当斜率不存在时，不合题意；当斜率存在时，设所求的直线方程为y+2=k（x+1），列出方程，进而得出交点．

解答： 证明：（1）直线方程为（2+λ）x+（1-2λ）y+4-3λ=0可化为：
∵λ（x-2y-3）+2x+y+4=0，
∴由

x-2y-3=0 2x+y+4=0

得：

x=-1 y=-2

，
∴直线l恒过定点M（-1，-2）．
解：（2）当斜率不存在时，不合题意；
当斜率存在时，设所求直线l₁的方程为y+2=k（x+1），
直线l₁与x轴、y轴交于A、B两点，则A（

2

k

-1，0）B（0，k-2）．
∵AB的中点为M，
∴

2 k -1=-2 k-2=-4

，
解得k=-2．
∴所求直线l₁的方程为y+2=-2（x+1），
即：2x+y+4=0．
所求直线l₁的方程为2x+y+4=0

点评：本题给出动直线恒过定点，要我们求直线恒过的定点坐标，中点的坐标，着重考查了直线的方程及点与直线位置关系等知识，属于中档题．