Question

6．某厂生产的产品在出厂前都要做质量检测，每件一等品都能通过检测，每件二等品通过检测的概率为$\frac{1}{2}$．现有10件产品，其中6是一等品，4件是二等品．
（Ⅰ）随机选取3件产品，设至少有一件通过检测为事件A，求事件A的概率；
（Ⅱ）随机选取3件产品，其中一等品的件数记为X，求X的分布列及数学期望EX．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用独立事件的概率，转化求解即可．
（Ⅱ）求出一等品的件数记为X的可能值，求出概率，得到分布列然后求解期望即可．

解答 （本小题满分13分）
解：（Ⅰ） $P（A）=1-\frac{C_4^3}{{C_{10}^3}}•{（\frac{1}{2}）^3}=\frac{239}{240}$
所以随机选取3件产品，至少有一件通过检测的概率为$\frac{239}{240}$．…（5分）
（Ⅱ）由题可知X可能取值为0，1，2，3．…（6分）
P（X=0）=$\frac{{C}_{4}^{3}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{1}{30}$，
P（X=1）=$\frac{{C}_{6}^{1}{C}_{4}^{2}}{{C}_{10}^{3}}$$\frac{3}{10}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{6}^{2}{C}_{4}^{1}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{1}{2}$，
$P（X=3）=\frac{C_4^0C_6^3}{{C_{10}^3}}=\frac{1}{6}$．…（10分）
则随机变量X的分布列为

X	0	1	2	3
P	$\frac{1}{30}$	$\frac{3}{10}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{6}$

…（11分）
$EX=0×\frac{1}{30}+1×\frac{3}{10}+2×\frac{1}{2}+3×\frac{1}{6}=\frac{9}{5}$…（13分）

点评 本题考查独立事件概率的求法，离散性随机变量的分布列以及期望的求法，考查转化思想以及计算能力．