Question

1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且$\frac{cosA}{cosB+cosC}$=$\frac{a}{b+c}$，则$\sqrt{3}$cosC-2sinB的最小值为-1．

Answer 1

分析 利用余弦定理化简已知等式可求b²+c²-a²=bc，进而利用余弦定理可求cosA=$\frac{1}{2}$，可得A=$\frac{π}{3}$，C=$\frac{2π}{3}$-B，利用三角函数恒等变换的应用化简可得$\sqrt{3}$cosC-2sinB=-sin（B+$\frac{π}{3}$），进而利用正弦函数的图象和性质可求最小值．

解答 解：在△ABC中，∵$\frac{cosA}{cosB+cosC}$=$\frac{a}{b+c}$，
∴$\frac{\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}}{\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}+\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}}$=$\frac{a}{b+c}$，整理可得：b²+c²-a²=bc，
∴cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{1}{2}$，
∴A=$\frac{π}{3}$，C=$\frac{2π}{3}$-B，
∴$\sqrt{3}$cosC-2sinB=$\sqrt{3}$cos（$\frac{2π}{3}$-B）-2sinB=-$\frac{1}{2}$sinB-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosB=-sin（B+$\frac{π}{3}$）≥-1，当B+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$时等号成立，
即当B=$\frac{π}{6}$，C=$\frac{π}{2}$时，$\sqrt{3}$cosC-2sinB的最小值为-1．
故答案为：-1．

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了学生的运算求解能力和转化思想，属于基础题．